Question

如果非负整数m及其各位数字之和均为6的倍数，则称m为“六合数”．求小于2012的非负整数中“六合数”的个数．

Answer 1

考点：整数问题的综合运用

专题：分类讨论

分析：由题意可知：一个非负整数为“六合数”当且仅当它末位数字是偶数且各位数字之和是6的倍数，将小于2012的数都写成

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的形式，并用f（k）表示M中末位数字为k的“六合数”的个数，其中k∈{0，2，4，6，8}．然后分类讨论，先求出小于2000的“六合数”，再求出大于或等于2000的“六合数”的个数，据此解答即可．

解答：解：易知，一个非负整数为“六合数”当且仅当它末位数字是偶数且各位数字之和是6的倍数．
为方便起见，将M={0，1，…，2011}中每个数都写成四位数

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abcd

的形式（当不足四位数时，在最高数位前补上若干个数字“0”，使之恰含有四个数字），并用f（k）表示M中末位数字为k的“六合数”的个数，其中k∈{0，2，4，6，8}．
对n∈N，将满足x+y=n且x，y∈{0，1，…，9}的（x，y）的组数记为p_n，显然pn=

n+1，   n=0，  1， …， 9  19-n，n=10，  11， …， 18  0，   n≥19.

先考虑一切小于2000的“六合数”

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abck

．
若k=0，则当a=0时，b+c=0，6，12，18；当a=1时，b+c=5，11，17，故f（0）=（p₀+p₆+p₁₂+p₁₈）+（p₅+p₁₁+p₁₇）=16+16=32．
若k=2，则当a=0时，b+c=4，10，16；当a=1时，b+c=3，9，15，故f（2）=（p₄+p₁₀+p₁₆）+（p₃+p₉+p₁₅）=17+18=35．
若k=4，则当a=0时，b+c=2，8，14；当a=1时，b+c=1，7，13，故f（4）=（p₂+p₈+p₁₄）+（p₁+p₇+p₁₃）=17+16=33．
当k=6，8时，与k=0，2的情形类似，有f（6）=f（0）=32，f（8）=f（2）=35．
因此，小于2000的“六合数”有f（0）+f（2）+f（4）+f（6）+f（8）=167个．再注意到2000至2011中恰好有一个“六合数”2004，所以所求“六合数”的个数为167+1=168．

点评：本题主要考查排列、组合及简单计数问题等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于难题．