Question

如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．

Answer 1

考点：等腰直角三角形,直角三角形斜边上的中线

专题：几何综合题

分析：由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，则CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性质得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，则∠AMD-∠AMC=2（∠MBD-∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM为等腰直角三角形．

解答：解：△CDM为等腰直角三角形．理由如下：
∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，
而M为AB的中点，
∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，
∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，
∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，
∴∠AMD-∠AMC=2（∠MBD-∠MBC）=2∠OBD=90°，
即∠CMD=90°，
∵CM=DM，
∴△CDM为等腰直角三角形．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角的性质，灵活利用直角三角形的斜边上的中线的性质是关键．