Question

20．若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：
x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$
根据上述材料计算：
已知x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，求下列代数式的值．
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$
（2）x₁²+x₂²            
（3）（x₁-1）（x₂-1）

Answer 1

分析 根据x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，求出x₁+x₂，x_1•x₂的值，再根据（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂）；（3）（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1即可求出答案．

解答 解：∵x₁、x₂是方程x²+4x+2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-4，x_1•x₂=2，
∴（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-4}{2}$=-2；
（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16-4=12；
（3）（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=2-（-4）+1=7．

点评 此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．