Question

11．已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°．
（1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上，求证：△BDE≌△ADC；
（2）若∠BAC是钝角，DC=5，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据已知得出∠EBD=∠DAC，进而利用ASA得出△BDE≌△ADC；
（2）与（1）同理可得△BDE≌△ADC，利用全等三角形的性质得出DC=DE，进而得出AE=DE-AD即可．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°
∴BD=AD，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
同理：∠C+∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠DAC，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠ADC=90°}\\{BD=AD}\\{∠EBD=∠DAC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC（ASA）；

（2）解：如图，由（1）知，
BD=AD=4，
∵∠E+∠EAF=90°，∠C+∠CAD=90°，∠EAF=∠CAD，
∴∠E=∠C，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠ADC=90°}\\{BD=AD}\\{∠EBD=∠DAC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC（ASA），
∴DE=DC=5，
∴AE=DE-AD=5-4=1．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知得出三角形全等的条件是解答此题的关键．