Question

10．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，当点C第三次回到x轴上时，点C经过的路线长为（4+2$\sqrt{3}$）π．

Answer 1

分析 根据C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得到正六边形ABCDEF的边长为1，根据正六边形的性质得到∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，求得∠CED=30°，过D作DH⊥CE于H，解直角三角形得到EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=$\sqrt{3}$，同理CF=2，AC=$\sqrt{3}$，当点C第一次回到x轴上时，点C经过的路线长为$\frac{60π×1}{180}$+$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×2}{180}$+$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{4+2\sqrt{3}}{3}$π，当点C第三次回到x轴上时，点C经过的路线长（4+2$\sqrt{3}$）π，

解答 解：∵C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0），
∴正六边形ABCDEF的边长为1，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，
∴∠CED=30°，
过D作DH⊥CE于H，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CE=$\sqrt{3}$，
同理CF=2，AC=$\sqrt{3}$，
∴当点C第一次回到x轴上时，
∴点C经过的路线长为$\frac{60π×1}{180}$+$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×2}{180}$+$\frac{60π×\sqrt{3}}{180}$+$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{4+2\sqrt{3}}{3}$π，
当点C第三次回到x轴上时，点C经过的路线长（4+2$\sqrt{3}$）π．
故答案为：（4+2$\sqrt{3}$）π．

点评 本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，弧长的计算，坐标与图形的性质，正确的识图是解答此题的关键．