Question

1．菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3$\sqrt{3}$，则AP的长为3$\sqrt{3}$或6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分成P在OA上和P在OC上两种情况进行讨论，根据△ABD是等边三角形，即可求得OA的长度，在直角△OBP中利用勾股定理求得OP的长，则AP即可求得．

解答 解：设AC和BE相交于点O．
当P在OA上时，
∵AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=9，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{9}{2}$．
则AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}-（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
在直角△OBP中，OP=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}-（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
则AP=OA-OP-$\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
当P在OC上时，AP=OA+OP=$\frac{9\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$．
故答案是：3$\sqrt{3}$或6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，注意到P在AC上，应分两种情况进行讨论是解题的关键．