如图.直线y=-3x+3与x轴.y轴分别交于点A.B．抛物线y=a(x-2)2+k经过A.B.并与x轴交于另一点C.其顶点为P.(1)求a.k的值,(2)在图中求一点Q.A.B.C为顶点的四边形是平行四边形.请直接写出相应的点Q的坐标,(3)抛物线的对称轴上是否存在一点M.使△ABM的周长最小?若存在.求△ABM的周长,若不存在.请说明理由,(4)抛物线的对称轴是上是否存在一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x-2）²+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，
（1）求a，k的值；
（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；
（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）由条件可先求得A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、k的值；
（2）过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ₁=BQ₂=AC；过C作平行AB的直线，在C点两侧分别截取CQ₃=CQ₄=AB，则Q₃、Q₄到x轴的距离都等于B点到x轴的距离，可分别求得满足条件的Q点的坐标；
（3）由A、C关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点M，则M即为所求，由B、C可求得直线BC的解析式，可求得M点的坐标，容易求得其周长；
（4）可设N点坐标为（2，n），可分别表示出AB、AN、BN的长，由勾股定理可得到关于n的议程，可求得N点坐标．

解答解：（1）在y=-3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，
∴A（1，0），B（0，3），
分别代入y=a（x-2）²+k，可得$\left\{\begin{array}{l}{a+k=0}\\{4a+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
即a为1，k为-1；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x-2）²-1，
令y=0，可求得x=1或x=3，
∴C（3，0），
∴AC=3-1=2，AB=$\sqrt{10}$，
过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ₁=BQ₂=AC=2，如图1，

∵B（0，3），
∴Q₁（-2，3），Q₂（2，3）；
过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ₃=CQ₄=AB=$\sqrt{10}$，如图2，

∵B（0，3），
∴Q₃、Q₄到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线x=3的距离为1，
∴Q₃（2，3）、Q₄（4，-3）；
综上可知满足条件的Q点的坐标为（-2，3）或（2，3）或（4，-3）；
（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，

∵A、C两点关于对称轴对称，
∴AM=MC，
∴BM+AM最小，
∴△ABM周长最小，
∵B（0，3），C（3，0），
∴可设直线BC解析式为y=mx+3，
把C点坐标代入可求得m=-1，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
当x=2时，可得y=1，
∴M（2，1）；
∴存在满足条件的M点，
此时BC=3$\sqrt{2}$，且AB=$\sqrt{10}$，
∴△ABM的周长的最小值为3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；
（4）由条件可设N点坐标为（2，n），
则NB²=2²+（n-3）²=n²-6n+13，NA²=（2-1）²+n²=1+n²，且AB²=10，
当△ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB²+NA²=AB²，
∴n²-6n+13+1+n²=10，解得n=1或n=2，
即N点坐标为（2，1）或（2，2），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）．

点评本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出Q点的位置是解题的关键，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键，在（4）中设出N点坐标，利用勾股定理得到方程是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中．