Question

如图，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=90°，且AB，BD，DE，EA的中点分别是点M，N，P，Q．求证：四边形MNPQ是菱形．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：首先连接AC，BD，利用三角形的中位线定理证得四边形MNPQ是平行四边形，然后证得△BCE≌△ACD后证得MN=NQ，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定结论即可．

解答：证明：连接AC，BD，
∵AB，BD，DE，EA的中点分别是点M，N，P，Q，
∴MN∥AD，PQ∥AD，MQ∥BE，NP∥BE，MN=

1

2

AD，MQ=

1

2

BE
∴MN∥PQ，MQ∥NP，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD DC=CE

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，
∴MN=NQ，
∴平行四边形MNPQ是菱形．

点评：本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是正确的构造辅助线和了解菱形的判定定理，难度中等．