Question

11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，AB平分∠CAE．
（1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ACB=30°，⊙O的半径为2，请求出图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接BO，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，根据角平分线的定义得到∠1=∠BAE，等量代换得到∠2=∠BAE，根据余角的性质得到∠EBO=90°，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABO是等边三角形，得到∠2=60°，解直角三角形得到BE=$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：（1）BE与⊙O相切，
理由：连接BO，∵OA=OB，
∴∠1=∠2，
∵AB平分∠CAE，
∴∠1=∠BAE，
∴∠2=∠BAE，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠2=90°，即∠EBO=90°，
∴BE⊥OB，
∴BE与⊙O相切；

（2）∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠2=60°，OA=OB=AB=2，
∴∠ABE=30°，
在Rt△ABE中，cos∠ABE=$\frac{BE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{3}$，
∴AE=1，
∴S_阴影=S_{四边形AEBO}-S_扇形AOB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}π$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．