Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，∠BOE=30°，OD=2，cos∠ADB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．则CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先由已知条件求出∠ADB=30°，再由平行四边形的性质得出∠ADB=∠CBD=30°，证出OE是△BCD的中位线，得出OE∥CD，证出BC=CD，得出四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，根据三角函数即可求出CD．

解答 解：∵cos∠ADB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADB=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD=2，
∴∠ADB=∠CBD=30°，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，
∴∠CDB=∠BOE=30°，
∴∠CBD=∠CDB，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴CD=$\frac{OD}{COS30°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的判定与性质以及三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形中位线和菱形是解决问题的关键．