Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF沿AF折叠．当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则BF的长为$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：B′在横对称轴上与B′在竖对称轴上，分别求出BF的长即可．

解答 解：当B′在横对称轴上，此时AE=EB=3，如图1所示，

由折叠可得△ABF≌△AB′F，
∴∠AFB=∠AFB′，AB=AB′=6，BF=B′F，
∴∠B′MF=∠B′FM，
∴B′M=B′F，
∵EB′∥BF，且E为AB中点，
∴M为AF中点，即EM为中位线，∠B′MF=∠MFB，
∴EM=$\frac{1}{2}$BF，
设BF=x，则有B′M=B′F=BF=x，EM=$\frac{1}{2}$x，即EB′=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△AEB′中，根据勾股定理得：3²+（$\frac{3}{2}$x）²=6²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，即BF=2$\sqrt{3}$；
当B′在竖对称轴上时，此时AM=MD=BN=CN=4，如图2所示：

设BF=x，B′N=y，则有FN=4-x，
在Rt△FNB′中，根据勾股定理得：y²+（4-x）²=x²，
∵∠AB′F=90°，
∴∠AB′M+∠NB′F=90°，
∵∠B′FN+∠NB′F=90°，
∴∠B′FN=∠AB′M，
∵∠AMB′=∠B′NF=90°，
∴△AMB′∽△B′NF，
∴$\frac{AM}{B′N}$=$\frac{AB′}{B′F}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{6}{x}$，
∴y=$\frac{2}{3}$x，
∴（$\frac{2}{3}$x）²+（4-x）²=x²，
解得x₁=9+3$\sqrt{5}$，x₂=9-3$\sqrt{5}$，
∵9+3$\sqrt{5}$＞4，舍去，
∴x=9-3$\sqrt{5}$
所以BF的长为$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$，
故答案为$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$．

点评 本题考查了折叠的性质，三角形中位线的性质，三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，注意分两种情况解答此题．