Question

4．已知矩形ABCD的边AB=a，AD=b（a＞b＞0），若点P为CD边上的一动点，且记DP=x，直线AP交BC的延长线于Q，使得DP+CQ为最小时，a，b、x应满足关系式为（　　）

• A． x=$\frac{a+b}{2}$
• B． x=$\sqrt{ab}$
• C． a²-b²=x²
• D． $\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$

Answer 1

分析 由PC∥AB得$\frac{PC}{AB}=\frac{CQ}{BQ}$，所以$\frac{a-x}{a}=\frac{CQ}{CQ+b}$，所以CQ=$\frac{ab}{x}-b$，所以DP+CQ=x+$\frac{ab}{x}-b$≥2$\sqrt{ab}$-b，当x=$\frac{ab}{x}$时，DP+CQ的值最小，由此即可解决问题．

解答 解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，AB∥CD，
∵PC∥AB，
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{CQ}{BQ}$，
∴$\frac{a-x}{a}=\frac{CQ}{CQ+b}$，
∴CQ=$\frac{ab}{x}-b$，
∴DP+CQ=x+$\frac{ab}{x}-b$≥2$\sqrt{ab}$-b，
∴当x=$\frac{ab}{x}$时，DP+CQ的值最小，
∴x²=ab，
∴x=$\sqrt{ab}$．
故选B．

点评 本题考查矩形的性质、平行线分线段成比例定理，不等式的性质即a+b≥2$\sqrt{ab}$（a≥0，b≥0）且a=b时等号成立，灵活运用不等式性质是解决最值的关键．