Question

17．探索题：
（x-1）（x+1）=x²-1                
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1      
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
（1）根据以上规律，求（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）
（2）判断2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的个位数是几？

Answer 1

分析 （1）根据题干所给出的例子可知（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（2）给等式乘以（2-1）从而可知2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=2²⁰¹⁴-1，然后找出2ⁿ的尾数规律从而得到答案．

解答 解：（1）由题意可知：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1
（2）2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=（2-1）（2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁴-1，
2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64…
2014÷4=503…2．
∴2²⁰¹⁴的尾数是4．
4-1=3．
∴2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的个位数是3．

点评 本题主要考查的是平方差公式的应用，找出2ⁿ的尾数规律是解题的关键．