题目内容
9．已知抛物线y=-x2+2kx+3k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=$\frac{1}{3}$OC．（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内一点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转90°，得到BQ，连接PQ，过A作直线PQ的垂线，垂足为E，过B作直线PQ的垂线，垂足为F，作线段EF的垂直平分线交x轴于点H，过点H作HD∥y轴，交抛物线于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长BP交HD延长线于点M，连接AP交HD于点N，当MD=NH时，求∠QPA的正切值．
分析 （1）由抛物线解析式得到C（0，3k），结合已知条件得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线解析式列出关于k的一元二次方程，通过解方程求得k的值即可；
（2）根据平行线的判定推知AE∥GH∥BF，则由平行线分线段成比例得到：$\frac{AH}{BH}$=$\frac{EG}{FG}$=1，由点的坐标与图形的性质求得H（1，0）．又因为DH∥y轴，所以点D的横坐标为1．把点D的横坐标代入函数解析式即可求得点D的纵坐标；
（3）设P（m，-m2+2m+3）．由抛物线上点的坐标特征和待定系数法求得直线PA的解析式为y=（3-m）x+3-m，易得NH=6-2m．同理，由直线PB的解析式得到MH=2m+2，结合MD=NH，求得P（2，3）．如图2，过P作PK⊥AB于K，构建等角∠QPA=∠BPK，所以通过解Rt△PKB得到：tan∠BPK=$\frac{BK}{PK}$=$\frac{1}{3}$，即tan∠QPA=$\frac{1}{3}$．
解答 （1）解：当x=0时，y=-02+2k×0+3k，
解得y=3k，
∴C（0，3k），
∴OC=3k．
∵OA=$\frac{1}{3}$OC，
∴OA=k，
∴A（-k，0）．
∵点A在抛物线上，
∴0=-（-k）2+2k×（-k）+3k，
解得k1=0（舍去），k2=1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：如图1，∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴当y=0时，0=-x2+2x+3，
解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=OA+OB=4．
∵AE⊥PQ，BF⊥PQ，
∴∠AEP=∠BFQ=90°，
∴AE∥BF．
∵GH垂直平分EF，
∴EG=FG，∠HGQ=90°，
∴∠HGQ=∠BFQ，
∴GH∥BF，
∴AE∥GH∥BF，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\frac{EG}{FG}$=1，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴OH=OB-BH=1，
∴H（1，0）．
∵DH∥y轴，
∴点D的横坐标为1．
∵点D在抛物线上，
∴当x=1时，y=-12+2×1+3=4，
∴D（1，4）；
（3）解：∵点P在抛物线y=-x2+2x+3上，设P（m，-m2+2m+3）
由（2）知A（-1，0）B（3，0）设直线PA的解析式为y=k1x+b1
点A（-1，0）、P（m，-m2+2m+3）在直线PA上，则
$\left\{\begin{array}{l}{0=-1×{k}_{1}+{b}_{1}}\\{-{m}^{2}+2m+3=m×{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=3-m}\\{{b}_{1}=3-m}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为y=（3-m）x+3-m，
∵N的横坐标为1
∴当x=1时，y=（3-m）×1+3-m=6-2m，
∴NH=6-2m．
设直线PB的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
点B（3，0）、P（m，-m2+2m+3）在直线PB上，则
$\left\{\begin{array}{l}{0=3×{k}_{2}+{b}_{2}}\\{-{m}^{2}+2m+3=m×{k}_{2}+{k}_{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-m-1}\\{{b}_{2}=3m+3}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为y=（-m-1）x+3m+3．
∵M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=（-m-1）×1+3m+3=2m+2，
∴MH=2m+2，
∵D（1，4），
∴DH=4，
∴MD=MH-DH=2m-2．
∵MD=NH，
∴2m-2=6-2m，
解得m=2，
∴P（2，3）．
如图2，过P作PK⊥AB于K，
∴OK=2，PK=3，
∴AK=OA+OK=3，BK=OB-OK=1，
∴AK=PK=3．
∵PK⊥AB，
∴∠PKA=90°，
∴∠PAK=∠APK=45°．
∵BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠BPQ=∠BQP=45°
∴∠APK-∠QPK=∠QPB-∠QPK，即∠QPA=∠BPK，
在Rt△PKB中，tan∠BPK=$\frac{BK}{PK}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠QPA=$\frac{1}{3}$．
点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，图形旋转变换，平行线的判定与性质等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生熟练运用数形结合的数学思想方法．
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