Question

12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元时，则每个月少卖5件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为3200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围内，每个月的利润不低于3200元？

Answer 1

分析 （1）先求得销售量与上涨价格的关系式，然后再根据销售利润=件数×每件的利润列出关系式；
（2）先求得抛物线的对称轴，然后依据二次函数的性质确定出最大利润和此时的售价；
（3）令y=3200，得到关于x的一元二次方程，然后解得x的值即可，然后根据二次函数的性质可求得自变量的范围．

解答 解：（1）由题意得：y=（210-5x）（50+x-40）
=-5x²+160x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
（2）∵x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{160}{-5×2}$=16，
∴抛物线的对称轴为x=16，
∵a=-5＜0，
∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大．
∴当x=15时，每个月的获利最大，最大值为3375元．
50+15=65元．
∴当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3375元．
（3）当y=3200时，-5x²+160x+2100=3200，
解得：x₁=10，x₂=22（舍去）．
∴当x=10时，即定价=50+10=60元．
∴当售价定为每件60元时，每个月的利润为3200元．
当售价在不低于60且不高于65元之间时，每个月的利润不低于3200元．

点评 本题考查了二次函数的运用．关键是根据实际问题中涉及的变量，列出等量关系，运用函数的性质解决问题．