Question

△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，连接DE、EF、F、HD．
（1）求证：四边形DEFH为平行四边形；
（2）连接AG．
①当AG与BC具有什么关系时，四边形DEFH是菱形并证明；
②当AG与BC具有什么关系时，四边形DEFH是矩形．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）由△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，根据三角形中位线的性质，可得DE∥FH，DE=FH，即可证得四边形DEFH为平行四边形；
（2）①当AG=BC时，易证得EF=ED，又由四边形DEFH为平行四边形，即可判定四边形DEFH是菱形；
②当AG⊥BC时，易得ED⊥EF，又由四边形DEFH为平行四边形，即可判定四边形DEFH是矩形．

解答：证明：（1）∵△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，FH∥BC，FH=

1

2

BC，
∴DE∥FH，DE=FH，
∴四边形DEFH为平行四边形；

（2）①当AG=BC时，四边形DEFH是菱形．
理由：∵△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，
∴EF=

1

2

AG，
∵DE=

1

2

BC，
∴当AG=BC时，EF=ED，
∵四边形DEFH为平行四边形，
∴?DEFH为菱形；

②当AG⊥BC时，四边形DEFH为矩形，
理由：∵△ABC的两条中线BD与CE交于点G、F、H分别是BG、CG的中点，
∴DE∥FH∥BC，EF∥AG∥DH，
∴当AG⊥BC时，ED⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∵四边形DEFH是平行四边形，
∴四边形DEFH是矩形．

点评：此题考查了中点四边形的性质、平行四边形的性质与判定、矩形的判定以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．