Question

在四边形ABCD中，点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点，EG与FH相交于O点．
（1）猜想EG与FH有怎样的关系？并证明你的结论．
（2）请添加一个条件

 

，使得EG与FH互相垂直．
（3）若四边形AEOH，BEOF，CFOG的面积分别为15，17，16，求四边形DGOH的面积；若四边形AEOH，BEOF，CFOG，DGOH的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，利用（2）的计算结果，直接写出S₁，S₂，S₃，S₄它们之间的关系．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）首先连接EF，FG．GH．HE，BD，AC，由在四边形ABCD中，点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点，可得EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，即可证得四边形EFGH是平行四边形，继而证得结论；
（2）由EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，可得当AC=BD时，四边形EFGH是菱形，即可得EG与FH互相垂直；
（3）首先连接OA，OB，OC，OD，由点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点，即可得S_△AOE=S_△BOE，S_△AOH=S_△DOH，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，继而可证得S₁+S₃=S₂+S₄．

解答：解：（1）EG与FH互相平分．
理由：如图（1）连接EF，FG．GH．HE，BD，AC，
∵在四边形ABCD中，点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点，
∴EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG与FH互相平分；

（2）条件：AC=BD．
∵EF=HG=

1

2

AC，EH=FG=

1

2

BD，
∴EF=HG=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH；
故答案为：AC=BD；

（3）如图（2），连接OA，OB，OC，OD，
∵点E，F，G，H，分别是AB，BC，CD，DE的中点，
∴S_△AOE=S_△BOE，S_△AOH=S_△DOH，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，
∵四边形AEOH，BEOF，CFOG的面积分别为15，17，16，
∴S_△AOE+S_△COF=S_△BOE+S_△BOF=S_{四边形BEOF}=17，
∴S_△AOH+S_△COG=S_{四边形AEOH}+S_{四边形BEOF}+S_{四边形CFOG}-（S_△AOE+S_△COF+S_△BOE+S_△BOF）=15+17+16-（17+17）=14，
∴S_{四边形DGOH}=S_△DOH+S_△DOG=S_△AOH+S_△COG=14；
∵S_△AOE=S_△BOE，S_△AOH=S_△DOH，S_△BOF=S_△COF，S_△COG=S_△DOG，
∴S₁+S₃=S_△AOE+S_△AOH+S_△COF+S_△COG，S₂+S₄=S_△BOE+S_△BOF+S_△DOH+S_△DOG，
∴S₁+S₃=S₂+S₄．

点评：此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．