Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连结AD，若⊙O的半径为

5

2

，AD=3，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结OD、AD，如图，由圆周角定理得∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得到BD=CD，所以可判断OD为△ABC的中位线，然后根据平行线的性质得到DE⊥OD，再根据切线的判定定理可得到结论；
（2）先利用勾股定理计算出BD=4，再证明Rt△ABD∽Rt△ADE，然后利用相似比可计算出DE的长．

解答：（1）证明：连结OD、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABD中，∵AD=3，AB=5，
∴BD=

AB2-AD2

=4，
∵AD垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴Rt△ABD∽Rt△ADE，
∴

AB

AD

=

BD

DE

，即

5

3

=

4

DE

，
∴DE=

12

5

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．