如图.在平面直角坐标系中.Rt△ABC的顶点A.C分别在y轴.x轴上.∠ACB=90°.OA=$\sqrt{3}$.抛物线y=ax2-ax-a经过点B(2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$).与y轴交于点D．(1)求抛物线的表达式,(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由,(3)延长BA交抛物线于点E.连结ED.试说明ED∥AC的理由,(4)点P从点O开始沿OC运动.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，∠ACB=90°，OA=$\sqrt{3}$，抛物线y=ax²-ax-a经过点B（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；
（3）延长BA交抛物线于点E，连结ED，试说明ED∥AC的理由；
（4）点P从点O开始沿OC运动，到点C停止，连结AP，过点B作BF⊥AP于F，请直接写出点F的运动路径长．

分析（1）把点B坐标代入解析式求出a的值即可；
（2）先求出点B关于直线AC的对称点坐标，再代入抛物线进行判断即可；
（3）联立抛物线和直线AB求出点E坐标，证明∠ADE=∠CAO即可；
（4）判断点F的运动轨迹，求出根据弧长公式求出弧长即可．

解答解：（1）抛物线y=ax²-ax-a经过点B（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4a-2a-a，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴抛物线的表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）如图1，
过点B作x轴的垂线，垂足为M，
设OC=m，则CM=2-m，
由∠ACB=90°，OA⊥OC，BM⊥CM，易证△AOC∽△CMB，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{CM}{BM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{m}=\frac{2-m}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，
解得：m=1，
∴C（1，0），
运用两点法可求直线AC：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0，
延长BC至点 B′，使得CB′=CB，过点B′作x轴的垂线，垂足为N，
易求CN=CM=1，NB′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点B关于直线AC的对称点为：（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；当x=0时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上；

（3）如图2，过点E作EH⊥y轴，垂足为H，
运用两点法可求直线AB的解析式：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得：x=-2，或x=2（舍去），
此时y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=2，OA=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；当x=0时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴HD=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ADE=tan∠CAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADE=∠CAO，
∴ED∥AC；

（4）$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$
作出简化图如图3，作以AB为直径的圆Q，连接QC，
由题意可知，P从O到C对应点F的运动轨迹是以AB为直径的圆上的弧GC，
由A（0，$\sqrt{3}$），B（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）可求圆心Q（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），QC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵C（1，0），
可求∠GQC=60°，
所以弧GC=$\frac{60×π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$，