Question

4．已知一个两位数$\overline{pq}$，（p为十位数，q为个位数）使得二次函数y=x²+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且S_△ABC=$\overline{1}$，则符合条件的两位数pq为34，86．

Answer 1

分析 令抛物线y=0，运用两点间的距离和根与系数的关系求出AB长度，运用顶点公式求出三角形的高，根据题意列方程求解即可．

解答 解：二次函数y=x²+qx+p，当y=0时，
x²+qx+p=0，设方程的两个根为：x₁，x₂，
则有AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{{q}^{2}-4p}$，
y=x²+qx+p的顶点为：（$-\frac{q}{2}$，$\frac{4p-{q}^{2}}{4}$），
此时，△ABC的高为：-$\frac{4p-{q}^{2}}{4}$，
∵S_△ABC=1，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{q}^{2}-4p}$×（-$\frac{4p-{q}^{2}}{4}$）=1，
解得：q²-4p=4，
此时q=2$\sqrt{p+1}$，
∵p，q为非负整数，且p≠0，
∴p=3，或p=8，
此时q=4，或q=6，
∴符合条件的两位数pq为：34或86；
故答案为：34，86．

点评 此题主要考查抛物线与坐标轴的交点问题，会结合方程的根求抛物线与x轴的交点的距离，会求抛物线顶点，会根据等式进行合理性分析是解题的关键．