Question

5．已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED=EF．
（Ⅰ）如图1，求证ED为⊙O的切线；
（Ⅱ）如图2，直线ED与切线AG相交于G，且OF=1，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；
（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度．

解答 （1）证明：连接OD，如图1所示．

∵ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∵∠EFD=∠CFO，
∴∠EDF=∠CFO．
∵OD=OC，
∴∠ODF=∠OCF．
∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，
∴ED为⊙O的切线．
（2）解：连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，如图2所示．

由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+1，
由勾股定理得：EO²=ED²+DO²，即（a+1）²=a²+3²，
解得：a=4，即ED=4，EO=5．
∵sin∠EOD=$\frac{ED}{EO}$=$\frac{4}{5}$，cos∠EOD=$\frac{OD}{EO}$=$\frac{3}{5}$，
∴DM=OD•sin∠EOD=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$，MO=OD•cos∠EOD=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴EM=EO-MO=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$，EA=EO+OA=5+3=8．
∵GA切⊙O于点A，
∴GA⊥EA，
∴DM∥GA，
∴△EDM∽△EGA，
∴$\frac{GA}{DM}=\frac{EA}{EM}$，
∴GA=$\frac{EA•DM}{EM}$=$\frac{8×\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}$=6．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据角的计算找出直角，从而证出切线．