Question

3．直角三角形ABC中，∠C=90度，CB=6，AC=8，D为CB边上一个动点，E为AC上一点，DE∥AB，将三角形CDE沿着DE翻折得到三角形DEF，设三角形DEF和三角形ABC重合的面积为y，DC=x，求y与x的函数关系式及定义域．

Answer 1

分析 分0≤x≤3和3＜x≤6两种情况考虑，当0≤x≤3时，根据翻折变换结合三角形的面积即可得出y关于x的函数关系式；当3＜x≤6时，利用分割图形求面积法结合三角形的面积即可得出y关于x的函数关系式．综上即可得出结论．

解答 解：当0≤x≤3时，点F在△ABC内（包括在边AB上），如图1所示，
此时△DEF和△ABC重合部分是完整的△DEF．
由翻折的性质可知：△DEF≌△DEC．
∵DE∥AB，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}$，
∴CE=$\frac{CD•CA}{CB}$=$\frac{4}{3}$CD=$\frac{4}{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$CD•CE=$\frac{2}{3}$x²；
当3＜x≤6时，点F在△ABC外，如图2所示．
∵DE∥AB，
∴∠CDE=∠B，∠FGH=∠FDE．
由翻折的性质可知：∠CDE=∠FDE，
∴∠B=∠FGH=∠BGD，
∴BD=GD，
∴GF=2x-6，FH=$\frac{4}{3}$（2x-6），
∴y=S_△CDE-S_△FGH=$\frac{1}{2}$CD•CE-$\frac{1}{2}$GF•FH=-2x²+16x-24．
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}{x}^{2}（0≤x≤3）}\\{-2{x}^{2}+16x-24（3＜x≤6）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式、三角形的面积、平行线的性质以及翻折变换，分0≤x≤3和3＜x≤6两种情况找出y关于x的函数关系式是解题的关键．