Question

5．已知：AB=AC，DC=DF，∠BAC=∠CDF=90°，点G在BF上，
（1）若BG=FG，求证：AG⊥DG  AG=DG；
（2）若∠ADG=45°，求证：BG=FG．

Answer 1

分析 （1）如图，延长AG到M使得GM=AG，连接BM、AF、DA、DM，延长MF交AB于N．只要证明△ACD≌△MFD，即可推出DM=AD，∠ADC=∠MDF，推出∠MDA=∠FDC=90°，推出△ADM是等腰直角三角形，由AG=GM，推出AG⊥DG  AG=DG．
（2）如图2中，过点A作AM⊥AD交DG的延长线于M，连接MB延长MB交CD的延长线于N，连接MF、BD、AF、AD．只要证明△MAB≌△DAC，四边形BDFM是平行四边形，即可解决问题．

解答 证明：（1）如图，延长AG到M使得GM=AG，连接BM、AF、DA、DM，延长MF交AC于N．

∵BG=GF，AG=GM，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AB=MF=AC，AB∥MN，
∴∠MNC=∠BAC=90°，
∴∠FNC+∠FDC=180°，
∴∠DFN+∠NCD=180°，∵∠MFD+∠DFN=180°，
∴∠MFD=∠ACD，
在△ACD和△MFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=MF}\\{∠ACD=∠MFD}\\{CD=DF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△MFD，
∴DM=AD，∠ADC=∠MDF，
∴∠MDA=∠FDC=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，∵AG=GM，
∴AG⊥DG  AG=DG．

（2）如图2中，过点A作AM⊥AD交DG的延长线于M，连接MB延长MB交CD的延长线于N，连接MF、BD、AF、AD．

∵∠MAD=90°，∠ADM=45°，
∴∠AMD=∠ADM=45°，
∴AM=AD，
∵∠AMD=∠BAC，
∴∠MAB=∠CAD，∵AM=AD，AB=AC，
∴△MAB≌△DAC，
∴BM=CD=DF，∠AMB=∠ADC，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠AMB+∠ADN=180°，
∴∠MAD+∠N=180°，
∴∠N=∠FDC=90°，
∴NM∥DF，
∴四边形BDFM是平行四边形，
∴BG=FG．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形或全等三角形解决问题，题目比较难，辅助线比较多．