Question

15．如图，直线y=-x+4与y=3x相交于点A，与x轴相交于点B，反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象经过OA上一点P，PC⊥x轴，垂足为C，且S_△AOB=2S_△POC．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）将y=-x+4与y=3x联立组成方程组，求出方程组的解得到A点坐标；将y=0代入y=-x+4，求出x的值，进而得到B点坐标；
（2）先求出S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4×3=6，那么S_△POC=3，再根据反比例函数比例系数k的几何意义求出|k|=2×3=6，结合图象确定k的值，即可得到反比例函数的解析式．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-x+4\\ y=3x\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}\right.$，
所以A点坐标为（1，3）．
解方程-x+4=0得，x=4，
所以B点坐标为（4，0）；

（2）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S_△POC=$\frac{1}{2}$S_△AOB=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴|k|=2×3=6．　　
由图象知k＞0，即k=6，
所以反比例函数的解析式是y=$\frac{6}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．同时考查了三角形的面积以及反比例函数比例系数k的几何意义．