Question

4．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，得到DE=AD=5；过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，利用勾股定理得到5²-x²=6²-（4-x）²，解得x=$\frac{5}{8}$，再计算出EH，然后根据正切的定义求解．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4-x，
在Rt△DHE中，EH²=5²-x²，
在Rt△CHE中，EH²=6²-（4-x）²，
∴5²-x²=6²-（4-x）²，解得x=$\frac{5}{8}$，
∴EH=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{8}）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{8}$，
在Rt△EDH中，tan∠HDE=$\frac{EH}{DH}$=$\frac{\frac{15\sqrt{7}}{8}}{\frac{5}{8}}$=3$\sqrt{7}$，
即∠CDE的正切值为3$\sqrt{7}$．
故答案为：3$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．