Question

7．将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则$\frac{PM}{CN}$的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$，然后在Rt△PCD中利用正切的定义得到tan∠PCD=tan30°=$\frac{PD}{CD}$，于是可得$\frac{PM}{CN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：∵点D为斜边AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CPD=60°，
∴∠MPD=∠NCD，
∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），
∴∠PDM=∠CDN=α，
∴△PDM∽△CDN，
∴$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PD}{CD}$，
在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=$\frac{PD}{CD}$，
∴$\frac{PM}{CN}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．