Question

如图，BD是△ABC的中线，CE⊥BD于点E，AF⊥BD交BD的延长线于点F．
（1）求证：DE=DF；
（1）求证：BE+BF=2BD；
（2）连AE、CF，求证：AE∥CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据三角形中线的定义可得AD=CD，根据垂直的定义可得∠CED=∠AFD=90°，然后利用“角角边”证明△CDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF；
（2）用BD表示出BE、BF，然后整理即可得证；
（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行证明即可．

解答：（1）证明：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴∠CED=∠AFD=90°，
在△CDE和△ADF中，

∠CED=∠AFD=90° ∠ADF=∠CDE AD=CD

，
∴△CDE≌△ADF（AAS），
∴DE=DF；

（2）∵BE=BD-DE，
BF=BD+DF，
∴BE+BF=BD-DE+BD+DF=2BD，
即BE+BF=2BD，

（3）∵AD=CD，DE=DF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图找出三角形全等的条件是解题的关键．