Question

11．如图，点A、B、C、D均在⊙O上，FB与⊙O相切于点B，AB与CF交于点G，OA⊥CF于点E，AC∥BF．
（1）求证：FG=FB．
（2）若tan∠F=$\frac{3}{4}$，⊙O的半径为4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，可得∠OAB=∠OBA，根据切线的性质，可得∠FBG+OBA=90°，根据等式的性质，可得∠FGB=∠FBG，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠ACF=∠F，根据等角的正切值相等，可得AE，根据勾股定理，可得答案．

解答 （1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC=90°．
∵FB与⊙O相切，
∴∠FBO=90°，
∴∠FBG+OBA=90°，
∴AGC=∠FBG，
∵∠AGC=∠FGB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB；
（2）如图，
设CD=a，
∵OA⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$a．
∵AC∥BF，
∴∠ACF=∠F，
∵tan∠F=$\frac{3}{4}$
tan∠ACF=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，即$\frac{AE}{\frac{1}{2}a}$=$\frac{3}{4}$，
解得AE=$\frac{3}{8}$a，
连接OC，OE=4-$\frac{3}{8}$a，
∵CE²+OE²=OC²，
∴（$\frac{1}{2}$a）²+（4-$\frac{3}{8}$a）²=4，
解得a=$\frac{192}{25}$，
CD=$\frac{192}{25}$．

点评 本题考查了切线的性质，解（1）的关键是利用切线的性质得出∠FBG+OBA=90°，解（2）的关键是利用等角的正切值相等得出$\frac{AE}{\frac{1}{2}a}$=$\frac{3}{4}$，又利用了勾股定理．