Question

16．如图，直线y=kx+b与双曲线$y=\frac{m}{x}$（x＜0）相交于A（-4，a）、B（-1，4）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）在y轴上存在一点P，使得PA+PB的值最小，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点B的坐标代入双曲线$y=\frac{m}{x}$，可得m，易得反比例函数的解析式；将A点坐标代入反比例函数的解析式可得a的值，将A，B的坐标代入直线y=kx+b，组成方程组，解得k，b，可得直线解析式；
（2）作点B关于y轴的对称点C（1，4），连接AC交y轴于点P．求得直线AC的解析式，令x=0，可得y即得点P的坐标．

解答 解：（1）将点B的坐标代入双曲线$y=\frac{m}{x}$，
得m=（-1）×4=-4，
∴反比例函数的解析式为：y=$-\frac{4}{x}$；
将A点坐标代入反比例函数的解析式y=-$\frac{4}{x}$
可得a=$-\frac{4}{-4}$=1，
∴A点坐标为（-4，1），
将A，B的坐标代入直线y=kx+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{1=-4k+b}\\{4=-k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线解析式为：y=x+5；

（2）作点B关于y轴的对称点C（1，4），连接AC交y轴于点P．
将点A（-4，1）和点C（1，4）代入y_AC=kx+b可得，
$\left\{\begin{array}{l}{1=-4k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{b=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$
∴${y_{AC}}=\frac{3}{5}x+\frac{17}{5}$，
令x=0，得$y=\frac{17}{5}$，
∴P$（0，\frac{17}{5}）$．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点及最短路径问题，关键是利用待定系数法求解析式，做对称点求最短路径．