Question

14．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x-1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A₁B₁C₁O，正方形A₂B₂C₂C₁，…，正方形A_nB_nC_nC_n-1，使得点A₁、A₂、A₃…A_n在直线l上，点C₁、C₂、C₃…C_n在y轴正半轴上，请解决下列问题：
（1）点A₆的坐标是A₆（32，31）；点B₆的坐标是（32，63）；
（2）点A_n的坐标是（2^n-1，2^n-1-1）；正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积是2^2n-2．

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标特征找出A₁、A₂、A₃、A₄的坐标，结合图形即可得知点B_n是线段C_nA_n+1的中点，由此即可得出点B_n的坐标，然后根据正方形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）观察，发现：A₁（1，0），A₂（2，1），A₃（4，3），A₄（8，7），A₅（16，15），A₆（32，31），…，
∴A_n（2^n-1，2^n-1-1）（n为正整数）．
观察图形可知：点B_n是线段C_nA_n+1的中点，
∴点B_n的坐标是（2^n-1，2ⁿ-1），
∴B₆的坐标是（32，63）；
故答案为：（32，31），（32，63）；
（2）由（1）得A_n（2^n-1，2^n-1-1）（n为正整数），
∴正方形A_nB_nC_nC_n-1的面积是（2^n-1）²=2^2n-2，
故答案为：（2^n-1，2^n-1-1），2^2n-2（n为正整数）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“A_n（2^n-1，2^n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键．