Question

12．如图，在等边△ABC中，AB=2，N为AB上一点，且AN=1，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．

解答 解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．
取BN中点E，连接DE．
∵等边△ABC的边长为2，AN=1，
∴BN=AC-AN=2-1=1，
∴BE=EN=AN=1，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN=2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE=2MN，
∴CN=2DE=4MN，
∴CM=$\frac{3}{4}$CN．
在直角△CDM中，CD=$\frac{1}{2}$BC=1，DM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CM=$\sqrt{C{D}^{2}+M{D}^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴CN=$\frac{4}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$．
∵BM+MN=CN，
∴BM+MN的最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$

点评 考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，关键是作辅助线转化BM，MN的值解答．