Question

3．如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．
（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求$\widehat{AB}$的长．

Answer 1

分析 （1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；
（2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．

解答 解：（1）作图如右图，
连接OA，过O作OB⊥PC，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，
∴OA=OB，即d=r，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵AB=AP=4，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，∠POA=60°，
在Rt△AOP中，tan60°=$\frac{4}{OA}$
∴OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴${L}_{\widehat{AB}}$=$\frac{120×\frac{4\sqrt{3}}{3}×π}{180}$=$\frac{8\sqrt{3}}{9}π$．

点评 本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是解决问题的关键．