Question

已知二次函数y=-x2+

b

3

x+c与x轴交于M（x₁，0），N（x₂，0）两点，与y轴交于点H．
（1）若∠HMO=45°，∠MHN=105°时，求该二次函数的解析式；
（2）若|x₁|，|x₂|分别是一个直角三角形两锐角的正弦值，当点Q（b，c）在直线y=

1

9

x+

1

3

上时，求该二次函数的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由已知可得两个特殊的直角三角形，其公共直角边OH=c，解直角三角形得OM，ON的长度，用长度表示点M、N的横坐标，用两根关系求待定系数，确定二次函数关系式；
（2）由（1）可知x₁=-c，x₂=

3

c，代入已知条件，用待定系数法解题．

解答：解：（1）依题意得OH=c，∠OHN=60°，解直角三角形得，OM=OH=c，ON=

3

c，
即M（-c，0），N（

3

c，0），
∴-c+

3

c=

b

3

，-c•

3

c=-c，
解得b=3-

3

，c=

3

3

，
故函数解析式y=-x²+（1-

3

3

）x+

3

3

；

（2）∵|x₁|，|x₂|分别是一个直角三角形两锐角的正弦值，
∴|x₁|²+|x₂|²=1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，
∴（

b

3

）²+2c=1…①，
又∵点Q（b，c）在直线上，
∴c=

b

9

+

1

3

…②，
由①②得

b=1 c= 4 9

或

b=-3 c=0

（不合题意舍去），
∴二次函数y=-x²+

b

3

x+c的解析式y=-x²+

1

3

x+

4

9

．

点评：考查了二次函数综合题，本题涉及解直角三角形，两根关系，待定系数法等知识的综合运用，要形数结合，会把线段长度转化为点的坐标是解题的关键．