Question

15．如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（-1，0），点B（0，$\sqrt{3}$）．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S₁，△BA′O的面积为S₂，S₁与S₂有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S₁与S₂的关系发生变化了吗？证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；
（2）根据等边三角形的性质可得AO=AA'，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AO=$\frac{1}{2}$AB，然后求出AO=OA'，再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A'到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
（3）方法1、根据旋转的性质可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出∠AON=∠A'OM，然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．
方法2、利用三角形的中线判断出S_△AOB'=S_△B'OC，再判断出△A'OB≌△COB'，即S_△A'OB=S_△COB'，即可．

解答 解：（1）∵A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°；

（2）∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴CA'=AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴OA'=AA'=AO，
根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，
∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂，


（3）S₁=S₂不发生变化；
方法1、理由：如图，过点'作A'M⊥OB．过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，
∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，
∴BO=OB'，AO=OA'，
∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°-90°=90°，
∴∠AON=∠A'OM，
在△AON和△A'OM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AON=∠A'OM}\\{∠OMA'=∠ONA}\\{AO=A'O}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△A'OM（AAS），
∴AN=A'M，
∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S₁=S₂．

方法2、如图2，
在x轴正半轴上取一点C，使OC=OA，连接B'C，
∴S_△AOB'=S_△B'OC，
由旋转知，AO'=AO，BO=B'O，
∴OC=OA'
∵∠BOC=∠A'OB'=90°，
∴∠A'OB=∠COB'，
∴△A'OB≌△COB'，
∴S_△A'OB=S_△COB'，
∴S_△A'OB=S_△AOB'，
即S₁=S₂

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．