Question

14．（1）如图1，4条直线l₁、l₂、l₃、l₄是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是2cm，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D分别在l₁、l₃、l₄、l₂上，求该正方形的面积；
（2）如图2，把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为18mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠1=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）过D点作直线EF与平行线垂直，与l₁交于点E，与l₄交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=2，DF=4．根据勾股定理可求CD²得正方形的面积；
（2）作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．

解答 解：（1）如图1，作EF⊥l₂，交l₁于E点，交l₄于F点．
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，EF⊥l₂，
∴EF⊥l₁，EF⊥l₄，
即∠AED=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=90°．
∴∠ADE+∠CDF=90°．
又∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠CDF=∠DAE．
∵AD=CD，
在△ADE和△DCF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DFC=90°}\\{∠CDF=∠DAE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（AAS），
∴CF=DE=2．
∵DF=4，
∴CD²=2²+4²=20，
即正方形ABCD的面积为20cm²；

（2）如图2，作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵∠1+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠1=36°，
根据题意，得BE=36mm，DF=72mm．
在Rt△ABE中，sin∠1=$\frac{BE}{AB}$，
∴AB=$\frac{BE}{sin36°}$=60mm，
在Rt△ADF中，cos∠ADF=$\frac{DF}{AD}$，
∴AD=$\frac{DF}{cos36°}$mm=90mm．
∴矩形ABCD的周长=2（60+90）=300mm．

点评 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算等知识，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．