Question

9．如图，△ABC中，∠BAC=∠ADB，BE平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，过点E作EG∥BC交AC于点G．
（1）求证：AE=AF；   
（2）若AG=4，AC=7，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义和已知条件证出∠AFB=∠AEF，即可得出结论；
（2）由SAS证明：△ABF≌△HBF，得出AF=FH，∠AFB=∠HFB，再证明1△AEG≌△FHC，得出AG=FC=4，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠AFB=180°-∠ABF-∠BAF，
∠BED=180°-∠CBF-∠ADB，
又∵∠BAC=∠ADB，
∴∠AFB=∠BED，
∵∠AEF=∠BED，
∴∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF；
（2）解：如图，在BC上截取BH=AB，连接FH，
在△ABF和△HBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AB=BH\\∠ABF=∠HBF\\ BF=BF\end{array}\right.$
∴△ABF≌△HBF（SAS），
∴AF=FH，∠AFB=∠HFB，
∵∠AFB=∠AEF，
∴∠HFB=∠AEF，
∴AE∥FH，
∴∠GAE=∠CFH，
∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠C，
∵AE=AF，
∴AE=FH，
在△AEG和△FHC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠GAE=∠CFH\\∠AGE=∠C\\ AE=FH\end{array}\right.$
∴△AEG≌△FHC（AAS），
∴AG=FC=4，
∴FG=AG+FC-AC=1．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．