Question

6．发现：
（1）若干平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件是三点不在同一条直线上．
（2）我们判断四个点A，B，C，D（任意其中个三点不共线）是否在同一圆上时，一般地，先作过A，B，C三点的圆，然后判断点D是否在这个圆上，如果在，则这四个点共圆，如果不在，则不存在同时过这四个点的圆．
思考：
（1）如图1，∠ACB=∠ADB=90°，那么点A，B，C，D四点在（填“在”或“不在”）同一个圆上；
（2）如图2，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°），（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？芳芳已经证明了点D不在圆内（如图所示），只要能够证明点D也不再圆外，就可以判断点D一定在圆上了，请你完成证明过程．
芳芳的证明过程：
如图3，过A，B，C三点作圆，圆心为O．假设点D在⊙O内，设AD的延长线交⊙O于点P，连接BP．易得∠APB=∠ACB．又由∠ADB是△BPD的外交，得到∠ADB＞∠APB，因此∠ADB＞∠ACB，这个结论与条件中的∠ACB=∠ADB矛盾，所以点D不在圆内．
应用：
如图4，在四边形ABCD中，连接AC，BD，∠CAD=∠CBD=90°，点P在CA的延长线上，连接DP．若∠ADP=∠ABD．求证：DP为Rt△ACD的外接圆的切线．

Answer 1

分析 发现：（1）根据不在同一条直线上的三点能够确定一个圆即可得到结论；
思考：（1）根据∠ACB=∠ADB=90°，即可得到结论；
（2）如图①，假设点D在⊙O外，设AD交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，根据外角的性质得到∠AEB＞∠D于是得到这个结论与条件中的∠ACB=ADB矛盾，即可得到结论；
应用：由∠CAD=∠CBD=90°，推出A，B，C，D四点在以CD为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠ACD=∠ABD，推出∠ACD=∠ADP，由于∠ACD+∠ADC=90°，等量代换得到∠ADC+∠ADP=90°，即可得到结论．

解答 解：发现：（1）若平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件是三点不在同一条直线上，
故答案为：三点不在同一条直线上；

思考：（1）∠ACB=∠ADB=90°，那么点A，B，C，D四点在同一个圆上，
故答案为：在；
（2）如图①，假设点D在⊙O外，设AD交⊙O于点E，连接BE，易得∠AEB=∠ACB，又由∠AEB是△BED的外角，∴∠AEB＞∠D，∵∠ACB=∠AEB，∴∠ACB＞∠ADB，这个结论与条件中的∠ACB=∠ADB矛盾，∴点D不在圆外，
∴D一定在圆上；

应用：∵∠CAD=∠CBD=90°，
∴A，B，C，D四点在以CD为直径的同一个圆上，
∴∠ACD=∠ABD，
∵∠ABD=∠ADP，
∴∠ACD=∠ADP，
∵∠ACD+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠ADP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴DP为Rt△ACD的外接圆的切线．

点评 本题考查的是点与圆的位置关系、圆周角定理以及反证法的应用，掌握反证法的一般步骤、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．