Question

11．如图，点E为矩形ABCD的边CD上一点，将矩形ABCD沿AE折叠的一边，使点D落在BC边的点F处．若折痕$AE=5\sqrt{10}，tan∠EFC=\frac{4}{3}$，则DF的长为3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设CE=4k，则CF=3k，由矩形的性质和勾股定理得出EF=5k，∠BAF+∠AFB=90°，由折叠的性质得：∠AFE=∠ADC=90°，DE=EF=5k，AD=AF，AB=CD=9k，证出∠BAF=∠EFC，由三角函数得出BF=12k，由勾股定理得出AD=AF=15k，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出k=1，得出CD=9，CF=3，再由勾股定理求出DF即可．

解答 解：∵tan∠EFC=$\frac{CE}{CF}$=$\frac{4}{3}$，
设CE=4k，则CF=3k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ADC=∠B=∠C=90°，
∴EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=5k，∠BAF+∠AFB=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠ADC=90°，DE=EF=5k，AD=AF，
∴AB=CD=9k，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴BF=12k，
∴AD=AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=15k，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，AE=5$\sqrt{10}$，
∴（15k）²+（5k）²=（5$\sqrt{10}$）²，
解得：k=1，
∴CD=9，CF=3，
∴DF=$\sqrt{C{F}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$；
故答案为：3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、三角函数的运用；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．