Question

20．如图1，二次函数y=ax²+bx-3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B 作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y=ax²+bx-3和反比例函数$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．
（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数的比例系数k的几何意义可求出k，从而可求出点B的坐标，然后运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，由此可求出对称轴方程；
（2）①过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2，易证BC∥OA，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，只需QE=AD=1，由此即可求出t的值；②如图2，易证△MFP≌△MGQ，则有MF=MG，从而可求出S_△BPN（用t表示），然后只需求出S_{四边形ABPQ}，并运用割补法就可得到S关于t的函数解析式，然后只需利用该函数的增减性就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，
∵四边形OCBD的面积是6，
∴k=xy=-6，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$．
∵反比例函数$y=-\frac{6}{x}$（x＞0）的图象经过点B（2，m），
∴2m=-6，
解得m=-3．
∴B（2，-3）．
将点A（3，0），B（2，-3）代入y=ax²+bx-3，得
$\left\{\begin{array}{l}0=9a+3b-3\\-3=4a+2b-3.\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式y=x²-2x-3．
则抛物线的对称轴为x=-$\frac{-2}{2×1}$=1；

（2）①由题意可知：BP=OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA．
过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5，
∴当t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC、x轴的交点分别为F、G，如图2．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
∵BC∥OA，
∴∠GQM=∠FPM．
在△MFP和△MGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMF=∠QMG}\\{∠FPM=∠GQM}\\{PF=QG}\end{array}\right.$
∴△MFP≌△MGQ，
∴MF=MG，
∴S_△BPN=$\frac{1}{2}$PB•MF═$\frac{1}{2}$PB•$\frac{1}{2}$FG
=$\frac{1}{2}$×0.1t×$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{40}$t．
∵S_{四边形ABPQ}=$\frac{1}{2}$（BP+AQ）•FG
=$\frac{1}{2}$（0.1t+3-0.1t）•3
=$\frac{9}{2}$，
∴S=S_{四边形ABPQ}-S_△BPN
=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{40}$t．
∵BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要2÷0.1=20秒，
∴0≤t≤20．
∵-$\frac{3}{40}$＜0，
∴当t=20秒时，面积S有最小值3．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的增减性、反比例函数的比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定等知识，把四边形ABPQ为等腰梯形转化为QE=AD是解决第（2）①小题的关键，运用割补法是解决第（2）②小题的关键．