Question

17．如图，△ABC中，AB=17，AC=10，BC=21，则△ABC的外接圆⊙O的半径的长为$\frac{85}{8}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，根据勾股定理求得EC，进而求得AE，作直径AD，连接BD，易证得△ABD∽△AEC，得出$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AB}{AE}$，即可求得直径，进而求得半径．

解答 解：作AE⊥BC于E，
∴AB²-BE²=AC²-EC²，
设EC=x，
∴17²-（21-x）²=10²-x²，
解得x=6，
∴EC=6，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=8，
作直径AD，连接BD，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AB}{AE}$，
即$\frac{AD}{10}$=$\frac{17}{8}$，
∴AD=$\frac{170}{8}$，
∴⊙O的半径的长为：$\frac{85}{8}$．
故答案为$\frac{85}{8}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆和外心，相似三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．