Question

19．如图，已知AB∥CD，CN是∠BCE的平分线．
（1）若CM平分∠BCD，求∠MCN的度数；
（2）若CM在∠BCD的内部，且CM⊥CN于C，求证：CM平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，连结BM、BN，且BM⊥BN，∠MBN绕着B点旋转，∠BMC+∠BNC是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的定义和补角的定义可得结果；
（2）由垂直的定义可得∠MCN=90°，即∠BCN+∠BCM=90°，利用等式的性质可得2∠BCN+2∠BCM=180°，又因为∠BCE=2∠BCN，可得∠BCD=2∠BCM，即得结论；
（3）延长AB至F，过N，M分别作NG∥AB，MH∥AB，则有NG∥AB∥MH∥CD，利用平行线的性质易得∠BNG=∠ABN，∠CNG=∠ECN，∠BMH=∠FBM，∠CMH=∠DCM，由∠MBN=∠MCN=90°，可得∠ABN+∠FBM+∠ECN+∠DCM=180°，由角平分线的定义可得结论．

解答 （1）解：∵CN、CM分别平分∠BCE和∠BCD，
∴$∠BCN=\frac{1}{2}∠BCE$，$∠BCM=\frac{1}{2}∠BCD$，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠MCN=∠BCN+∠BCM=$\frac{1}{2}∠BCE+∠BCD$=$\frac{1}{2}$（∠BCE+∠BCD）=90°；

（2）证明：∵CM⊥CN，
∴∠MCN=90°，
即∠BCN+∠BCM=90°，
∴2∠BCN+2∠BCM=180°，
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCE=2∠BCN，
∴∠BCE+2∠BCM=180°，
∴∠BCD=2∠BCM，
∴CM平分∠BCD；

（3）解：如图，∠BMC+∠BNC=180°，
延长AB至F，过N，M分别作NG∥AB，MH∥AB，则有NG∥AB∥MH∥CD，
∴∠BNG=∠ABN，∠CNG=∠ECN，∠BMH=∠FBM，∠CMH=∠DCM，
∵BM⊥BN，CM⊥CN，
∴∠MBN=∠MCN=90°，
∵∠ABN+∠MBN+∠FBN=180°，∠ECN+∠MCN+∠DCM=180°，
∴∠ABN+∠FBM+∠ECN+∠DCM=180°，
∴∠BMC+∠BNC=∠BMH+∠CMH+∠BNG+∠CNG=∠ABN+∠FBM+∠ECN+∠DCM=180°，
∴∠BMC+∠BNC=180°不变．

点评 本题主要考查了角平分线的性质，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．