Question

8．观察下列各式：
$\frac{2}{1×3}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{3}$；
$\frac{2}{2×4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$；
$\frac{2}{3×5}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$；
…
请利用你所得结论，化简代数式：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$（n≥3且n为整数），其结果为$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 根据所列的等式找到规律$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），由此计算$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$的值．

解答 解：∵$\frac{2}{1×3}$=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{2}{2×4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$，
$\frac{2}{3×5}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$，
…
∴$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．
故答案是：$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．．

点评 此题主要考查了数字变化类，此题在解答时，看出的是左右数据的特点是解题关键．