Question

4．如图，直角梯形OABC的顶点C，A分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC=90°，∠OCB=45°，BC=6$\sqrt{2}$，直线DE交OB于点D，交y轴于点E，OD=2BD，且OE，OC的长分别为方程x²-11x+18=0的两个根（OE＜OC）．
（1）求出点B的坐标．
（2）求出直线DE的解析式．
（3）若点P为y轴上一点，在坐标平面内是否存在点Q，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程的解，确定出0E，OC，再根据勾股定理得出BG，CG，从而得出结论；
（2）由DH∥AB，得出 $\frac{OD}{OB}=\frac{DH}{AB}=\frac{OH}{OA}$，求出点D的坐标，由D，E确定出直线DE解析式；
（3）由（2）知点D，E坐标和DE解析式，再结合菱形的性质即可得出结论．

解答 （1）如图1，

∵x²-11x+18=0，
∴x=2或x=9，
∵OE＜OC，
∴OE=2，OC=9，
过点B作BG⊥OC，垂足为G
∵∠OCB=45°，BC=6$\sqrt{2}$，
∴BG=CG=6，
∴OG=3，
∴B（-3，6），
（2）如图2，

过点D作DH∥AB，交y轴于点H
∴$\frac{OD}{OB}=\frac{DH}{AB}=\frac{OH}{OA}$，
∵OD=2BD，
∴DH=2，OH=4，
∴D（-2，4），
设直线DE解析式为y=kx+b，
过点D（-2，4），E（0，2），
∴DE解析式为  y=-x+2； 
（3）存在Q，
如图3，由（2）知，点D（-2，4），E（0，2），
∴DE=2$\sqrt{2}$，
∵四边形DEPQ是菱形，
∴EP=DE=2$\sqrt{2}$，
∴P₁（0，2$\sqrt{2}$+2），P₂（0，2-2$\sqrt{2}$），
∵四边形DEPQ是菱形，
∴DQ∥PE，DQ=DE=2$\sqrt{2}$，
∴Q₁（-2，4+2$\sqrt{2}$），Q₂（-2，4-2$\sqrt{2}$），
由（2）知，直线DE的解析式为y=-x+2，
∴线段DE的垂直平分线的解析式为y=x+4，
∴P₃（0，4），
∴Q₃（-2，2）
∵四边形DEPQ是菱形，
∴点Q₄与D关于DP₄对称，
∴Q₄（2，4）；
综上所述，存在点Q，使以D、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：Q₁（-2，4+2$\sqrt{2}$），Q₂（-2，4-2$\sqrt{2}$），Q₃（-2，2）Q₄（2，4）．

点评 此题是四边形综合题，用到的知识点是一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，对称的性质，关键是根据相似求出线段的长度得出点的坐标．