Question

16．如图，将边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD上，落点记为E（不与点C，D重合），点A落在点F处，折痕MN交AD于点M，交BC于点N．
（1）若$\frac{CE}{CD}=\frac{1}{2}$，
①求出BN的长；
②求$\frac{AM}{BN}$的值；
（2）若$\frac{CE}{CD}=\frac{1}{n}$（n≥2，且n为整数）则$\frac{AM}{BN}$的值是多少（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）先求出CE=1，再求出BN，然后判断出△DQE∽△CEN，得出比例式，求出AM，即可；
（2）根据勾股定理得，EN²=NC²+CE² 求出BN，然后AM=BH=BN-NH=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$，即可．

解答 解：（1）①∵沿MN折叠B和E重合，
∴BN=NE，
∵$\frac{CE}{DC}=\frac{1}{2}$，CD=2，
∴CE=1，
设BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=1²+（2-x）²
x=$\frac{5}{4}$，BN=NE=$\frac{5}{4}$，
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴$\frac{CE}{DQ}=\frac{EN}{QE}=\frac{CN}{DE}$，
∴$\frac{1}{DQ}=\frac{{\frac{5}{4}}}{QE}=\frac{{2-\frac{5}{4}}}{2-1}$，
∴DQ=$\frac{4}{3}$，EQ=$\frac{5}{3}$，
∵折叠A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
∴（2-$\frac{4}{3}$-AM）²=AM²+（2-$\frac{5}{3}$ ）²，
∴AM=$\frac{1}{4}$，
∵BN=NE=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{1}{5}$；
（2）不妨令CD=CB=n，
∴CE=1，
设BN=x，
∴EN=x，
根据勾股定理得，EN²=NC²+CE²，
∴x²=（n-x）²+1²，
∴x=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$，
作MH⊥BC于H，
∴MH=BC，
∵点B，E关于MN对称，
∴MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
∵∠NMH+∠BNM=90°，
∴∠EBC=∠NMH，
∴△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解本题的关键是利用用n表示线段．