Question

17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A₁B₁C，旋转角为ɑ（0°＜ɑ＜90°），连接BB₁．设CB₁交AB于点D，A₁B₁分别交AB、AC于点E，F．
（1）求证：△BCD≌△A₁CF；
（2）若旋转角ɑ为30°，
①请你判断△BB₁D的形状；
②求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等．
（2）①根据旋转的性质和等腰三角形的判定与性质得到△BB₁D是等腰三角形；
②如图，过D作DG⊥BC于G，设DG=x，通过解直角三角形和已知条件BC=1列出关于x的方程，通过解方程求得x的值，然后易得CD=2x．

解答 （1）证明：∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，
∴∠A₁=∠A，A₁C=AC，∠ACA₁=∠BCB₁=α．
∴∠A₁=∠CBD，A₁C=BC．
在△CBD与△CA₁F中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠C{A}_{1}F}\\{BC={A}_{1}F}\\{∠BCD=∠{A}_{1}CF}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△A₁CF（ASA）．

（2）解：①△BB₁D是等腰三角形，理由如下：
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又由旋转的性质得到BC=B₁C，则∠CB₁B=∠CBB₁，
∴∠CB₁B=∠CBB₁=$\frac{180°-α}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°．
∴∠B₁BD=∠CBB₁-∠CBA=75°-45°=30°，
∴∠BDB₁=480°-75°-30°=75°，
∴∠BDB₁=∠CB₁B=∠DB₁B=75°，
∴BD=BB₁，
∴△BB₁D是等腰三角形．
 ②如图，过D作DG⊥BC于G，设DG=x，
∵ɑ=30°，∠DBE=45°，
∴BG=x，CG=$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}$x+x=1，
解得x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故CD=2x=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识点．本题中旋转的性质的利用可以帮我们得出很多关于全等三角形的判定的条件．