Question

5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，函数y=$\frac{k}{x}$的图象与边OB交于点C，且点C为边OB的中点．若△AOB的面积为12，则k的值为6．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由此可知△ODC∽△OEB，CD∥BE，结合△AOB为直角三角形可得出四边形OEBA为矩形，从而得出“BE=AO，AB=OE”，再由点C为线段OB的中点，即可得出“BE=2CD，OE=2OD”，结合三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义即可得出|k|=6，结合反比例函数在第一象限内有图象即可得出结论．

解答 解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．

∵CD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴△ODC∽△OEB，CD∥BE．
∵△AOB为直角三角形，
∴∠OAB=90°=∠AOE，
∴AB∥OE，
∴四边形OEBA为矩形，
∴BE=AO，AB=OE．
又∵点C为线段OB的中点，
∴BE=2CD，OE=2OD．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$AO•AB=$\frac{1}{2}$BE•OE=$\frac{1}{2}$•（2CD）•（2OD）=4S_△OCD=12，
∴S_△OCD=3=$\frac{1}{2}$|k|，解得：|k|=6．
∵反比例函数图象有一部分在第一象限内，
∴k=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积公式、相似三角形的判定及性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出S_△AOB=4S_△OCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积结合反比例系数k的几何意义找出|k|的值是关键．