Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F．
（1）求CF的长；
（2）求$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BEA}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF的长度；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，又AB=$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{6}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=3，
∵BE=1.8，
∴DE=3-1.8=1.2，
∵AB∥CD，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{DF}{\sqrt{3}}$=$\frac{1.2}{1.8}$，
解得，DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则CF=CD-DF=$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BEA，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△BEA}}$=（$\frac{DF}{AB}$）²=（$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$）²=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．