问题探究:(1)如图1.点A.B.C是⊙O上三点.∠ACB=35°.那么∠AOB=70°．(2)如图2.BD是边长为4的正方形ABCD的对角线.在正方形内部找一点O.使得∠AOB=2∠ADB.在图中画出满足条件的点O所形成的图形.并求出△AOB面积的最大值,问题解决:(3)如图3.将百姓家园小区平面图绘制在平面直角坐标系中.点A.B.C分别是家园小区门房及两个停� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．问题探究：
（1）如图1，点A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=35°，那么∠AOB=70°．
（2）如图2，BD是边长为4的正方形ABCD的对角线，在正方形内部（不含边界）找一点O，使得∠AOB=2∠ADB，在图中画出满足条件的点O所形成的图形，并求出△AOB面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，将百姓家园小区平面图绘制在平面直角坐标系中，点A、B、C分别是家园小区门房及两个停车场，其中OA=100m，AB=200m，OC=300m，为安全期间，在一点P安装监控使△APB面积最大，且∠APB=2∠ACB，是否存在满足条件的点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数；
（2）由于BD是正方形ABCD的对角线，则∠AOB=2∠ADB=90°，因为90°圆周角所对弦为直径，点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；过点O作OH⊥AB于点H，则OH≤$\frac{1}{2}$AB，从而可求出△AOB的最大值．
（3）作△ABC的外接圆⊙K，连接AC、BC、AK、BK，当△APB的面积最大，且∠APB=2∠ACB时，由（2）可知：点P与点K重合，然后根据勾股定理即可求出点P的坐标．

解答解：（1）∵点A、B、C是⊙O上三点，
∴∠AOB=2∠ACB=70°，
故答案为：70°；

（2）满足∠AOB=2∠ADB的点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，则∠AOB=2∠ADB=90°，
∵90°圆周角所对弦为直径，
∴点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；
过点O作OH⊥AB于点H，则OH≤$\frac{1}{2}$AB，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OH≤$\frac{1}{4}$AB²，
∵边长为4的正方形ABCD，
∴AB=4，
∴S_△AOB≤4，即S_△AOB最大值为4；

（3）存在满足条件的点P；
作△ABC的外接圆⊙K，连接AC、BC、AK、BK，
当△APB的面积最大，且∠APB=2∠ACB时，点P与点K重合，
此时，点P为符合条件的点，
连接PC，
∵OB=OC=300，
∴∠OBC=45°，
∴∠CPA=2∠OBC=90°，
在Rt△AOC中，
由勾股定理得：AC²=OC²+OA²，
在Rt△PAC中，
由勾股定理得：AC²=AP²+PC²=2AP²，
∴2AP²=OC²+OA²=300²+100²=100000，
∴AP=100$\sqrt{5}$，
∴点P在直线x=200上，
设直线x=200交x轴于点H，则AH=BH，
∵OB=OC=300，OA=100，
∴AB=200，
∴AH=100，
在Rt△PAH中，
由勾股定理得：PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=200，
∴P（200，200），
∴点P关于x轴的对称点P'（200，-200）也符合题意；
∴存在符合条件的点P，坐标为（200，200）或（200，-200）．