Question

8．BM平分∠ABC，∠A=20°，BC+CM=AB，求∠C的度数．

Answer 1

分析 在AB上截取BD=BC，求出AD=CM，利用“边角边”证明△BCD和△BCM全等，根据全等三角形对应边相等可得CM=DM，全等三角形对应角相等可得∠C=∠BDM，再求出AD=DM，根据等边对等角可得∠AMD=∠A，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

解答 解：如图，在AB上截取BD=BC，
∵BC+CM=AB，
BD+AD=AB，
∴AD=CM，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
在△BCD和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BC}\\{∠ABM=∠CBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△BCM（SAS），
∴CM=DM，
∠C=∠BDM，
∴AD=DM，
∴∠AMD=∠A，
在△ADM中，由三角形的外角性质得，∠BDM=∠A+∠AMD=20°+20°=40°，
∴∠C=40°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，“截长补短”作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．