Question

7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上的中点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；
（3）如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点B作BK⊥MN于K，动点P、Q分别从C、B两点同时出发，点P自C→D→H→C停止，点Q自B→K→E→B停止，已知CD=10，CH=8，在运动过程中，点P、Q的运动路程分别为a、b（ab≠0），若C、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则a与b满足的数量关系式是b=24-a．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形CDBE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形进行判断即可；
（3）以C、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，分三种情况进行讨论即可求解．

解答 解：（1）四边形BECD是菱形
理由：∵MN∥AB，
∴∠FBD=∠FCE，∠CEF=∠BDF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的中点，
∴DC=DB，
∵DE⊥BC
∴CF=BF，
∵在△CEF和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCE=∠FBD}\\{∠CEF=∠BDF}\\{CF=BF}\end{array}\right.$
∴△CEF≌△BDF（AAS），
∴FE=FD，
∴四边形CDBE是平行四边形
又∵ED⊥BC，
∴四边形CDBE是菱形；

（2）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形
理由：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的中点，
∴DC=DA，
∴当∠A=45°=∠ACD时，∠CDB=90°，
此时，菱形BECD是正方形；

（3）由CH⊥AB，BK⊥MN，四边形CDBE是菱形，可得△CDH≌△BEK，故CD=BE=10，CH=BK=8．
以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，可分三种情况：
①如图，当P点在CD上、Q点在BE上时，CP=BQ，a=24-b，即b=24-a；

②如图，当P点在DH上、Q点在EK上时，CQ=BP，24-b=a，即b=24-a；

③如图，当P点在CH上、Q点在BK上时，CP=BQ，24-a=b，即b=24-a．

综上所述，a与b满足的数量关系是b=24-a．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及正方形的判定等知识，难度较大，综合性较强．解题时，根据以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，需要分三种情况进行讨论，并画出图形，运用平行四边形的性质才能得出结果．